Geometria
Simpléctica

Luís Ferreira
IST n.º 31727 · 2 / 2 / 93

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GEOMETRIA SIMPLÉCTICA

→Degenerescência da forma simpléctica

As características que definem a forma simpléctica, numa variedade \(M\), são: o fecho, a antissimetria e a não-degenerescência. As 2 primeiras propriedades são ambas fundamentais, e em particular intervêm da seguinte forma: para o teorema de Darboux e para o estabelecimento de uma álgebra de observáveis através dos parêntesis de Poisson. A antissimetria origina propriedades conservativas, que se estendem às formas degeneradas. A não-degenerescência pode ser enfraquecida por forma a estabelecermos as boas propriedades em casos mais gerais.

Vamos estudar primeiro brevemente a importância da não-degenerescência.

A forma bilinear \(\omega\) é não degenerada se tivermos: \[ \bigl(\omega(e_1,e_2)=0,\ \forall e_2\in E\bigr)\Rightarrow e_1=0. \]

Definimos o mapa linear \(\omega^b:E\to E^*\) \((TM\to T^*M)\) por \(\omega^b(e)\cdot e'=\omega(e,e')\), então \(\omega^b(e)=\iota_e\omega\) e \([\omega^b]=[\omega_{ij}]\). A não-degenerescência de \(\omega\) implica que o núcleo de \(\omega^b\) é trivial; portanto \(\omega^b\) é injectiva e como estamos a tratar com espaços de dimensão finita, \(\omega^b:E\to E^*\) é sobrejectiva e por fim é um isomorfismo.

Logo determina um campo vectorial \(X_g\) através da condição:

\[ \omega^b(X_g)=\iota_{X_g}\omega=dg, \qquad\text{ou seja}\qquad [X_g]=[\omega_{ij}]^{-1}[dg]. \]

Se o observável \(g\) não depender explicitamente de alguma variável, teremos

\[ g=g(q^1,\ldots,q^{2n}),\qquad dg=\begin{bmatrix}\dfrac{\partial g}{\partial q^i}\\[.4em]0\end{bmatrix}, \] e então \(\omega\) pode ser degenerada; \([\,\omega_{ij}\,]\) terá uma linha/coluna nula, pelo que \(X_g\) terá 1 grau de liberdade.

Por exemplo:

\[ g(x,y,z)=xy+c^{te},\qquad dg=y\,dx+x\,dy=(y,x,0). \] Sabemos, do teorema de Darboux, que podemos encontrar uma base tal que \[ \omega=\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}. \qquad \text{Portanto } X_g=(x,-y,\theta). \] No manuscrito a letra alterna entre \(x\) e \(u\); mantive a leitura mais natural do exemplo.
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Para podermos estabelecer uma álgebra de observáveis temos que eliminar este excesso de campos possíveis. No nosso exemplo o núcleo de \(\omega\) é todos os vectores da forma \((0,0,X(u,y,z))\), ou seja \(X(u,y,z)\dfrac{\partial}{\partial z}\).

Estes vectores aplicados ao observável \(g\) determinam superfícies, linhas neste caso, em que \(g\) é constante:

\[ X\cdot g=X(u,y,z)\frac{\partial}{\partial z}g(u,y)=0. \]
Diagrama manuscrito das direcções do núcleo e superfícies de nível
Diagrama original: direcção \(z\), linhas verticais do núcleo e superfícies onde \(g\) é constante.

Logo se dispusermos de outro observável, também constante ao longo de \(z\), teríamos \[ \langle X_g,f\rangle=-X_f g=0, \] pelo que os parêntesis de Poisson estariam bem definidos. Para definir os parêntesis vamos então considerar apenas os vectores perpendiculares a estas linhas, uma vez que \(f\) e \(g\) dependem apenas de \(x\) e \(y\).

Pensemos agora a geometria diferencial:

\[ \omega(x,y)=\omega^b(x)\cdot y=\iota_x\omega\cdot y, \qquad \ker\omega^b=\{\,X\mid \iota_X\omega\equiv 0\,\}. \]

\(\omega^b\) é um smooth vector bundle mapping e determina uma submersão de \(TM\). Segundo o exercício 1.6F c) de Abraham, se \(\omega\) tiver rank constante \(k\), condição necessária para definirmos a nova álgebra, então \(\ker\omega\) é um subfibrado de \(TM\), chamemos-lhe \(E\). Um subfibrado é quando a base é a mesma mas as fibras são menores.

Então, segundo o Teorema de Frobenius, \(E\) é integrável se e só se surge de uma foliação regular.

Vamos provar que \(E\) é integrável: se \(X,Y\in\ker\omega\), resta verificar que \([X,Y]\in\ker\omega\).

\[ \iota_{[X,Y]}\omega =\mathcal{L}_X\iota_Y\omega-\iota_Y\mathcal{L}_X\omega =\mathcal{L}_X\iota_Y\omega-\iota_Y d\iota_X\omega-\iota_Y\iota_Xd\omega=0. \]

Tem que ser \(d\omega=0\), tal como seria de esperar, pois esta é uma condição fundamental para estabelecermos a álgebra.

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Então já sabemos que \(E\) surge de uma foliação regular, ou seja:

Para cada \(m_0\in M\), existe uma subvariedade local \(N\subset M\), chamada folha da foliação, que contém \(m_0\) e cujo fibrado tangente é exactamente \(E\) restrito a \(N\).

Convém agora definir foliações, segundo Abraham:

Uma foliação \(\mathcal{F}\) de classe \(C^n\), \(n\geq0\), e dimensão \(p\), numa variedade \(m\)-dimensional \(M\), é uma decomposição de \(M\) em subconjuntos conexos disjuntos \(J=\{L_\alpha\}_{\alpha\in A}\), denominados as folhas da foliação, tais que cada ponto de \(M\) tem uma vizinhança \(U\) e um sistema de coordenadas \(C^n\), \[ (x,y):U\to\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^{m-p}, \] tal que, para cada folha \(L_\alpha\), as componentes de \(U\cap L_\alpha\) são descritas pelas equações \[ y_1=c_1,\ldots,y_{m-p}=c_2. \]
Diagrama manuscrito da carta de foliação e observáveis
Diagrama original: carta \(\psi:U\to U\times\mathbb{R}^{n-k}\), projecção e observáveis constantes nas folhas.

Podemos determinar as folhas através dos observáveis que restam constantes sobre elas: \(f=c_1\), \(g=c_2\), etc.

\[ F=\{f(u),\ldots,h(u)\}, \qquad df(u)\wedge\cdots\wedge dh(u)\neq0 \quad\text{se } u\in F^{-1}(c). \]

Agora podemos ver que, se \(df(u)\neq0\), como \(u\in f^{-1}(c)\), então \(c\) é um valor regular de \(f\) e \(f^{-1}(c)\) é uma subvariedade de \(M\) de codimensão \(k\), isto é, a dimensão das folhas é \(n-k\).

\(df(u)\neq0\) é essencial para que, aplicado a \(X\),

\[ df(u)\cdot X=X\cdot f(u)=0 \]

não seja trivial e portanto determine os vectores do núcleo de \(\omega^b\), os quais são tangentes às folhas onde \(f\) e \(g\) são constantes.

\[ \begin{cases} X\cdot f=0\\ Y\cdot f=0 \end{cases} \Longrightarrow [X,Y]\cdot f=0, \] pois \([X,Y]\) é ainda um campo vectorial tangente à folha.
Diagrama manuscrito de vectores tangentes numa folha
Diagrama original: vectores tangentes à folha e direcções transversais.

Assim vê-se que tudo “encaixa” bastante bem.

A fim de estabelecer intrinsecamente a “perpendicularidade” intuída no exemplo linear, só dispomos de uma estrutura a que recorrer, a \(\omega\), uma vez que não temos métrica.

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Podemos eliminar os campos indesejáveis estabelecendo uma relação de equivalência em \(TM\) e efectuando o quociente de \(TM\) por essa relação. Dois elementos de \(TM\) são equivalentes se

\[ N:\quad \iota_{X_1-X_2}\omega(m)=0, \]

ou seja, eliminamos todas as componentes segundo a direcção das folhas.

Pequeno diagrama manuscrito sobre a equivalência de vectores
Diagrama original: \(X_1-X_2\) na direcção eliminada pela relação.

Eliminamos também as folhas. Para tal a relação de equivalência será definida pela constância do observável \(f\) sobre uma folha, ou seja, todos os pontos em \(f^{-1}(c)\), em que \(c\) é um valor regular de \(f\), são equivalentes.

O novo fibrado tangente será \(TM/N\). A sua base é uma variedade simpléctica. Agora já poderemos estabelecer nesta variedade uma álgebra de observáveis com parêntesis de Poisson, transformações canónicas e todas as boas propriedades.

Nota: \(TM/N\) é obtido pela projecção canónica \(M\to M/\mathcal{F}\) e as duas reduções mencionadas acima são obtidas simultaneamente.

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→Equações de 2.ª ordem definidas intrinsecamente

Abraham define intrinsecamente uma equação de 2.ª ordem numa variedade \(M\), da seguinte forma:

Uma equação de 2.ª ordem numa variedade \(M\) é um campo vectorial \(X\) em \(TM\) tal que \[ T\tau_M\circ X \] é a identidade em \(TM\).

Antes de prosseguir convém definir as operações envolvidas na definição de equação de 2.ª ordem:

\(\tau_M:TM\to M\) é a projecção do fibrado tangente na sua base, a qual é uma variedade diferencial.

\(T\tau_M:TTM\to TM\) é o mapa tangente entre os fibrados vectoriais \(TTM\) e \(TM\). Um mapa tangente é um caso particular de um vector bundle mapping, ou seja, um mapa \(C^\infty\), fiber-preserving, de pequeno diagrama comutativo, e linear em cada fibra:

\[ f_*X(n)=(Tf\circ X\circ f^{-1})(n). \]
Diagrama manuscrito de vector bundle mapping
Diagrama original: \(Tf\), \(f_*X\), e a relação entre fibras sobre \(m\) e \(n\).

A definição inicial significa que, se \(X\) for uma equação de 2.ª ordem em \(M\), temos o seguinte diagrama rômbico comutativo, excepto nos casos que envolvam apenas 2 setas:

Diagramas rômbicos manuscritos envolvendo TM, TTM e M
Diagramas originais: \(TM\), \(TTM\), \(\tau_M\), \(\tau_{TM}\), \(T\tau_M\) e a identidade.

Onde, localmente, para uma carta \(\psi\):

\[ T(\tau_M\psi)(u',e_1,e_2) = \bigl((\tau_M\psi)(u',e_1), D(\tau_M\psi)(u',e_1)\cdot(e_1,e_2)\bigr) = \left(u', \begin{bmatrix}I&0\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}e_1\\ e_2\end{bmatrix}\right) = (u',e_1). \]
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Se nos for imposta a seta da identidade temos:

Grande diagrama manuscrito do fibrado TTM, TM e M
Diagrama original: \(TTM\) sobre \(TM\) sobre \(M\), com \(\tau_{TM}\), \(T\tau_M\), a identidade e curvas levantadas.

A projecção canónica \(\tau_{TM}\) “achata” as fibras na base \(TM\), enquanto a projecção \(T\tau_M\) projecta apenas a parte “horizontal” da fibra e a base \(M\).

Outro esquema possível:

Outro esquema manuscrito para as curvas integrais
Diagrama original alternativo: caminhos \(①\) e \(②\), intervalo \(I\), curvas \(c\), \((\tau_M\circ c)'\) e \((\tau_M\circ c)''\).

\(X\) é uma equação de 2.ª ordem em \(M\) se e só se as curvas \(①\) e \(②\) coincidirem.

\[ (\tau_M\circ c)'(t)=c(t), \qquad (\tau_M\circ c)''(t)=X\circ(\tau_M\circ c)'(t)=(X\circ c)(t)=c'(t), \] pois a curva \(c(t)=(\tau_M\circ c)'(t)\) é uma curva integral do campo vectorial \(X\).

Efectuamos uma mudança de notações \((\tau_M\circ c)\to c\) e temos para a base integral curve of \(X\), \(c(t)\):

\[ c''(t)=X(c'(t)). \]

Nós poderíamos ter estabelecido esta igualdade se nos tivéssemos contentado que \(X\) determina a curva \(c'(t)\). Localmente:

\[ (\mu(c(t)),\, e(c'(t)),\, \tfrac{d}{dt}\mu(c(t)),\, \tfrac{d}{dt}e(c'(t))) = (\mu(c(t)),\,e(c'(t)),\,X_1(\mu(c(t)),e(c'(t))),\,X_2(\mu(c(t)),e(c'(t)))). \]

pois \(\mu(c'(t))=\mu(c(t))\) por \((\tau_M)\psi:(\mu,e)\mapsto\mu\), de ambos os lados do diagrama rômbico.

Do que já foi dito, torna-se finalmente:

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\[ \begin{cases} (T\tau_M\circ X)(u,e) = T\tau_M\bigl(u,e,X_1(u,e),X_2(u,e)\bigr) = (u,X_1(u,e)),\\[.7em] (\tau_{TM}\circ X)(u,e) = \tau_{TM}\bigl(u,e,X_1(u,e),X_2(u,e)\bigr) = (u,e). \end{cases} \tag{*} \]

Logo \(X_1(u,e)=e\) para que se verifique a identidade nos diagramas rômbicos.

Então finalmente:

\[ \begin{cases} \dfrac{d}{dt}\mu(c(t)) = X_1\bigl(\mu(c(t)),e(c'(t))\bigr) = e(c'(t)),\\[1em] \dfrac{d}{dt}e(c'(t)) = X_2\bigl(\mu(c(t)),e(c'(t))\bigr). \end{cases} \]
\[ \Longleftrightarrow \begin{cases} \dfrac{d}{dt}\mu(c(t))=e(c'(t)),\\[1em] \dfrac{d^2}{dt^2}\mu(c(t)) = X_2\bigl(\mu(c(t)),e(c'(t))\bigr), \end{cases} \qquad c'(t)=(c(t),\dot c(t)). \]

E temos uma equação de segundo grau definida intrinsecamente.

O importante aqui é a equação do movimento em 2.ª ordem, que obtemos em coordenadas locais a partir da nossa definição intrínseca.

Nota sobre \((*)\). Isto significa que, quando se fazem as “passagens” entre \(M\leftrightarrow TM\leftrightarrow TTM\), há um “percurso” único entre \(c\) e \(c''\), tal que

\[ c''_\psi = X_\psi(c'_\psi(t)) \Longleftrightarrow (c_\psi)' = X_\psi(c'_\psi(t)) \quad\text{e}\quad (c_\psi)''=X_\psi((c_\psi)'(t)). \] \[ \bigl(\mu(c(t)),\,\tfrac{d}{dt}\mu(c(t)),\,\tfrac{d}{dt}\mu(c(t)),\, \tfrac{d^2}{dt^2}\mu(c(t))\bigr) = \bigl(\mu(c(t)),\,e(c'(t)),\,X_1(\mu(c(t)),e(c'(t))),\, X_2(\mu(c(t)),e(c'(t)))\bigr). \]
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