Instituto Superior Técnico

Geometria
Simpléctica

Luís Ferreira
IST n.º 31727  ·  2 / 2 / 93
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Degenerescência da Forma Simpléctica

As características que definem a forma simpléctica numa variedade \(M\) são: o fecho, a antissimetria e a não-degenerescência. As duas primeiras propriedades são ambas fundamentais, e em particular intervêm da seguinte forma: o fecho e a antissimetria serão essenciais para o Teorema de Darboux e para o estabelecimento de uma álgebra de observáveis através dos parêntesis de Poisson. A antissimetria origina propriedades conservativas, que se estendem às formas degeneradas. A não-degenerescência pode ser enfraquecida de forma a estabelecermos as boas propriedades em casos mais gerais.

Vamos estudar primeiro brevemente a importância da não-degenerescência.

Forma Bilinear — Não-degenerescência \(\omega\) é não-degenerada se e só se: \[\omega(e_1,e_2)=0,\quad\forall\,e_2\in E\;\Longrightarrow\;e_1=0.\]

Definimos o mapa linear \(\omega^\flat:E\to E^*\) \((TM\to T^*M)\) por \(\omega^\flat(e)\cdot e'=\omega(e,e')\). Então \(\omega^\flat(e)=\iota_e\omega\) e \([\omega^\flat]=[\omega_{ij}]\). A não-degenerescência de \(\omega\) implica que o núcleo de \(\omega^\flat\) é trivial; portanto \(\omega^\flat\) é injectiva e, como \(\dim E=\dim E^*\), é um isomorfismo. Logo determina-se um campo vectorial \(X_g\) através da condição: para um dado \(g:E\to\mathbb{R}\),

\[\omega^\flat(X_g)=\iota_{X_g}\omega=dg,\qquad\text{ou seja:}\quad [X_g]=\bigl[\omega_{ij}\bigr]^{-1\,t}[dg].\]

Se o observável \(g\) não depender explicitamente de alguma variável: \(g=g(q^1,\dots,q^{2n})\), teremos \(dg=\bigl(\tfrac{\partial g}{\partial q_i},0\bigr)^\top\) e então \(\omega\) pode ser degenerada,

\[\omega=\left[\begin{array}{c|c}\omega_{ij}&\\\hline&0\end{array}\right],\]

que então \(X_g\) terá 1 grau de liberdade.

Por exemplo: \(g(u,y,z)=uy+c\), \(dg=y\,du+x\,dy=(y,u,0)\). Sabemos, do Teorema de Darboux, que podemos encontrar uma base tal que \(\omega\) seja da forma:

\[\omega=\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}.\qquad\text{Portanto}\quad X_g=(u,-y,0)\]
não há isomorfismo porque temos 1 grau de liberdade
Verificação: \([x\;\;{-y}\;\;0]\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}=[y\;\;x\;\;0]\).
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Para podermos estabelecer uma álgebra de observáveis temos que eliminar este excesso de campos possíveis. No nosso exemplo o núcleo de \(\omega\) é todos os vectores da forma \(\bigl(0,0,\lambda(u,y,z)\bigr)\), ou seja \(X(u,y,z)\tfrac{\partial}{\partial z}\). Estes vectores aplicados ao observável \(g\) determinam superfícies (linhas neste caso) em que \(g\) é constante:

\[X\cdot g=X(u,y,z)\,\tfrac{\partial}{\partial z}\,g(u,y)=0.\]

Logo se dispusermos de outro observável, também constante ao longo de \(z\), teríamos

\[\{f,g\}=\mathcal{L}_{X_g}f=-\mathcal{L}_{X_f}g=0,\]
se os parêntesis de Poisson estivessem bem definidos

Para podermos definir os parêntesis vamos então considerar apenas os vectores perpendiculares a estas linhas, uma vez que \(f\) e \(g\) dependem apenas de \(x\) e \(y\).

\(X_g\cdot f=-X_f\cdot g=0\), mas as linhas são perpendiculares ao plano \(x\)–\(y\); para cada \(dg\) não existe um \(X_g\) único.
Eixos x, y, z com as rectas verticais do núcleo e as superfícies de nível de g Eixos x, y e z a partir de uma origem, com o plano x-y em perspectiva. Duas curvas de nível de g traçadas no plano são atravessadas por rectas verticais com setas — as folhas do núcleo de ω-flat, geradas por ∂/∂z; uma das setas aponta para baixo, porque λ pode ser negativo. Sobre cada curva ergue-se a superfície de nível de g, vertical: g é constante ao longo de cada recta, isto é X·g = 0. z y x g = c₁ g = c₂ λ ∂/∂z ker ω♭ = ⟨∂/∂z⟩ as folhas do núcleo são as rectas verticais X · g = 0 g é constante ao longo de cada recta: as superfícies de nível são verticais
As folhas do núcleo \(\ker\omega^\flat=\langle\partial/\partial z\rangle\) são as rectas verticais; sobre cada curva de nível de \(g\) ergue-se uma superfície de nível vertical, pois \(g\) não depende de \(z\)

Geometria Diferencial

\[\omega(x,y)=\omega^\flat(x)\cdot y=\iota_x\omega\cdot y;\qquad\ker\omega^\flat=\{X\mid\iota_X\omega\equiv 0\}.\]

\(\omega^\flat\) é um smooth vector bundle mapping e determina uma subvariedade de \(TM\). Segundo o exercício 1.6F c) (pág. 51, do Abraham), se \(\omega\) tiver rank constante \(k\) — condição necessária para definirmos a nova álgebra, como se vê facilmente do nosso exemplo linear, pois senão o número de «graus de liberdade» varia de ponto para ponto — então \(\ker\omega\) é um sub-fibrado de \(TM\) (chamemo-lhe \(E\)); um sub-fibrado é quando a base é a mesma mas as fibras são menores. Então, segundo o Teorema de Frobenius, \(E\) é integrável se e só se surge de uma foliação regular.

Na sua imagem está \((T^*M)^E\), variedade isomórfica a \(TM|_E\); \(\iota_X\omega\) é um sub-fibrado de \(T^*M\).

Provar que \(E\) é integrável: sejam \(X,Y\in\ker\omega\). Verificamos que \([X,Y]\in\ker\omega\):

\[\iota_{[X,Y]}\omega=\mathcal{L}_X\iota_Y\omega-\iota_Y\mathcal{L}_X\omega=\mathcal{L}_X\iota_Y\omega-\iota_Yd\iota_X\omega-\iota_Y\iota_X\,d\omega=0.\]
Nota: É necessário que \(d\omega=0\), pois esta é uma condição fundamental para estabelecermos a álgebra.
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Então já sabemos que \(E\) surge de uma foliação regular, ou seja: "para cada \(m_0\in M\), existe uma subvariedade local \(N\subset M\), chamada folha da foliação, que contém \(m_0\) e cujo fibrado Tangente é exactamente \(E\) restrito a \(N\)."

Definição — Foliação (segundo Abraham) Uma foliação \(\mathcal{F}\) de classe \(C^n\), \(n\geq 0\), e dimensão \(p\) numa variedade \(m\)-dimensional \(M\) é uma decomposição de \(M\) em subconjuntos conexos disjuntos \(\mathcal{F}=\{L_\alpha\}_{\alpha\in A}\), denominados as folhas, tais que cada ponto de \(M\) tem uma vizinhança \(U\) e um sistema de coordenadas \(C^n\)\ \((x,y):U\to\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^{m-p}\), tal que para cada folha \(L_\alpha\) as componentes de \(U\cap L_\alpha\) são descritas pelas equações \(y_1=c_1,\;\dots,\;y_{m-p}=c_2\).
A carta φ leva a vizinhança U de M nos conjuntos de nível y = const. Em cima, M desenhada como plano em perspectiva com a vizinhança U dentro dela; U é atravessada pelas folhas da foliação, com a folha L-alfa que passa por m₀ destacada. A seta φ = (x,y) desce para o produto R^p × R^(m−p), desenhado em baixo como rectângulo: as folhas aparecem aí como níveis horizontais e cada uma corresponde a um ponto do eixo transversal R^(m−p); a folha destacada é o nível y = c. M m₀ U Lα φ = (x, y) y = c ℝm−p transversal ℝp × ℝm−p ℝp direcção das folhas
A carta \(\varphi=(x,y):U\to\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^{m-p}\) achata as folhas: cada \(L_\alpha\) passa a ser um nível \(y_1=c_1,\,\dots,\,y_{m-p}=c_2\)

Podemos determinar as folhas através dos observáveis que permanecem constantes sobre elas: \(f=c_1\), \(g=c_2\), etc.

\[\varphi:U\to U'\times\mathbb{R}^{n-k},\qquad u\longmapsto\bigl(\varphi_1(u),f(u)\bigr)\]
\(\bigl(\varphi_1(u),f(u),g(u),\dots\bigr)\), com \(c\in\mathbb{R}^{n-k}\)
Com \(F=\bigl(f(u),\dots,h(u)\bigr)\): \(c\) é valor regular de \(F\) se \(df(u)\wedge\dots\wedge dh(u)\neq 0\) para \(u\in F^{-1}(c)\) — isto é, matriz \(DF\) não singular.

Agora podemos ver que, se \(df(u)\neq 0\) com \(u\in f^{-1}(c)\), então \(c\) é um valor regular de \(f\) e \(f^{-1}(c)\) é uma subvariedade de \(M\) de codimensão \(k\) — a dimensão das folhas é \(n-k\).

\(df(u)\neq 0\) é essencial para que, aplicado a \(X\),

\[df(u)\cdot X=X\cdot f(u)=0\]

não seja trivial e portanto determine os vectores do núcleo de \(\omega^\flat\), os quais são tangentes às folhas onde \(f\) e \(g\) são constantes.

\[\begin{cases}X\cdot f=0\\Y\cdot f=0\end{cases}\Longrightarrow\;[X,Y]\cdot f=0,\]
pois \([X,Y]\) é ainda um campo vectorial tangente à folha.

Assim vê-se que tudo "encaixa" bastante bem.

A fim de estabelecer intrinsecamente a "perpendicularidade" intuída no exemplo linear não dispomos de uma estrutura a que recorrer,

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o \(\omega\), uma vez que não temos métrica. Podemos eliminar os campos indesejáveis estabelecendo uma relação de equivalência em \(TM\) e efectuando o quociente de \(TM\) por essa relação. Dois elementos de \(TM\) são equivalentes se

\[\sim\;:\quad \iota_{(X_1-X_2)}\,\omega(m)=0,\]

ou seja, eliminamos todas as componentes segundo a direcção das folhas:

Dois vectores de TM que diferem por um vector na direcção da folha A partir de um mesmo ponto saem os vectores X1 e X2; a diferença X1 menos X2 é vertical, isto é, está na direcção da folha, e é essa componente que o quociente elimina. X 1 X 2 X 1 − X 2
A diferença dos dois vectores está na direcção da folha

Eliminamos também as folhas. Para tal a relação de equivalência será definida pela constância do observável \(f\) sobre uma folha, ou seja, todos os pontos \(u\in f^{-1}(c)\) em que \(c\) é um valor regular de \(f\) são equivalentes.

O novo fibrado Tangente será \(TM/N\). A sua base é uma variedade simpléctica. Agora já poderemos estabelecer nesta variedade uma álgebra de observáveis com parêntesis de Poisson, transformações canónicas e todas as boas propriedades.

Nota: \(TM/N\) é obtido pela projecção canónica \(M\to M/\mathcal{F}\), e as duas reduções mencionadas acima são obtidas simultaneamente.
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Equação de 2.ª Ordem Definida Intrinsecamente

Definição — Abraham Uma equação de 2.ª ordem numa variedade \(M\) é um campo vectorial \(X\) em \(TM\) tal que \(T\tau_M\circ X\) é a identidade em \(TM\).

Antes de prosseguir convém definir as operações envolvidas na definição de eq. de 2.ª ordem: \(\tau_M:TM\to M\) é a projecção do fibrado Tangente na sua base, a qual é uma variedade diferencial; \(T\tau_M:TTM\to TM\) é o mapa tangente entre os fibrados vectoriais \(TTM\) e \(TM\). Um mapa tangente é um caso particular de um vector bundle mapping, ou seja, um mapa \(C^\infty\) fiber-preserving — diagrama das projecções comutativo — e linear em cada fibra:

\[f_*X(n)=\bigl(Tf\circ X\circ f^{-1}\bigr)(n)\]
Diagrama rômbico: TTM no topo, duas cópias de TM aos lados, M na base Losango com TTM em cima, duas cópias de TM à esquerda e à direita e M em baixo. A secção X sobe de cada TM para TTM; τ_TM desce para a cópia da esquerda e Tτ_M para a da direita; Id liga as duas cópias e τ_M leva cada uma delas a M. τ_TM∘X = Id porque X é campo vectorial; Tτ_M∘X = Id é a definição de equação de 2.ª ordem. O diagrama comuta excepto nos ciclos que envolvem apenas duas setas. TTM TM TM M X X τTM TτM Id ⟳ τM τM τTM ∘ X = IdTM X é campo vectorial em TM TτM ∘ X = IdTM definição de equação de 2.ª ordem
Um mapa tangente \(Tf\) é um vector bundle mapping: preserva as fibras e é linear em cada uma delas

A definição inicial significa que "se \(X\) for uma eq. de 2.ª ordem em \(M\) temos o seguinte diagrama rômbico comutativo (excepto nos ciclos que envolvam apenas 2 rectas)":

Vector bundle mapping: f leva M em N e Tf leva TM em TN preservando as fibras Duas bases, M e N, desenhadas como planos em perspectiva; sobre cada uma ergue-se a respectiva fibra, desenhada como caixa vertical, TM e TN. A secção X sobre o ponto m é levada por Tf na secção f∗X sobre n = f(m). O quadrado comuta: Tf preserva fibras e é linear em cada uma delas. MTMmX NTNnf∗X f Tf fiber-preserving e linear em cada fibra
Diagrama rômbico — comuta excepto nos ciclos que envolvem apenas duas setas. \(X\) é equação de 2.ª ordem \(\iff T\tau_M\circ X=\mathrm{Id}_{TM}\)
O mesmo diagrama rômbico em coordenadas locais Losango em coordenadas locais: em cima U-linha vezes E vezes E vezes E, com o ponto (u-linha, e, e1, e2); Tτ_M desce para a esquerda, dando (u-linha, e1), e τ_TM desce para a direita, dando (u-linha, e); τ_M leva ambos a U-linha, o ponto (u-linha). U′ × E × E × E (u′, e, e₁, e₂) U′ × ∘ × E × ∘ (u′, e₁) U′ × E × ∘ × ∘ (u′, e) U′ (u′) TτM τTM τM τM
O mesmo diagrama em coordenadas locais
\[\begin{aligned}T(\tau_{M\varphi})(u',e,e_1,e_2)&=\Bigl((\tau_{M\varphi})(u',e),\;D(\tau_{M\varphi})(u',e)\cdot(e_1,e_2)\Bigr)\\[.3em]&=\left(u',\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_1\\e_2\end{bmatrix}\right)=(u',e_1)\end{aligned}\]
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A projecção canónica \(\tau_{TM}\) "achata" as fibras na base \(TM\), enquanto que a projecção \(T\tau_M\) projecta apenas a parte "horizontal" da fibra e a base \(M\).

As duas projecções de TTM em TM, desenhadas sobre as variedades Cena em perspectiva com quatro variedades: em baixo à esquerda TM (dim 2n) com a curva c; por cima dela TTM (dim 4n), desenhada como caixa com uma folha interior onde corre a curva c′ = X∘c e com uma fibra de dimensão 2n a sair da face superior; ao fundo ao centro M (dim n) com a curva τ_M∘c; à direita uma segunda cópia de TM com a curva (τ_M∘c)′. X sobe de TM para TTM e τ_TM desce de volta, achatando toda a fibra; Tτ_M desce de TTM para a cópia da direita de TM, guardando só a parte horizontal; τ_M leva TM em M e T(τ_M∘c) levanta a curva de M para a cópia da direita. Id identifica as duas cópias de TM. c ① TM (dim = 2n) c′ TTM (dim = 4n) fibra (2n-dim.) (τM ∘ c) M (dim = n) ② (τM ∘ c)′ TM (dim = 2n) X (secção) τTM achata toda a fibra TτM só a parte horizontal τM T(τM ∘ c) Id
As duas projecções vistas sobre as variedades: \(\tau_{TM}\) achata toda a fibra e devolve \(c\); \(T\tau_M\) guarda apenas a parte «horizontal» e devolve \((\tau_M\circ c)'\)
Outro esquema: TTM, TM e M empilhados, o intervalo I e os caminhos ① e ② Três folhas paralelas empilhadas — TTM em cima, TM ao meio, M em baixo — e, à direita, o intervalo I. De I partem três curvas: (X∘c) = c′ para TTM, c para TM e τ_M∘c para M. Entre TTM e TM correm duas setas: τ_TM, cuja imagem é marcada com ①, e Tτ_M, marcada com ②; X sobe de TM para TTM, τ_M desce de TM para M e T(τ_M∘c) volta a subir. À esquerda as cartas φ, Tφ e T²φ. X é equação de 2.ª ordem exactamente quando as curvas ① e ② coincidem. TTM TM M I t (X ∘ c) = c′ c (τM ∘ c) X τTM ① TτM ② τM T(τM ∘ c) T2φ Tφ φ ① = τTM ∘ c′ = c ② = TτM ∘ c′ = (τM ∘ c)′ X é eq. de 2.ª ordem ⟺ ① e ② coincidem
O mesmo esquema por níveis, com \(c\) curva integral de \(X\) e \(c'=X\circ c\): \(X\) é de 2.ª ordem se e só se ① \(=\) ②, isto é \(c=(\tau_M\circ c)'\)

\(X\) é uma equação de 2.ª ordem em \(M\) se e só se as curvas ① e ② coincidirem. Então

\[(\tau_M\circ c)'(t)=c(t),\qquad (\tau_M\circ c)''(t)=X\circ(\tau_M\circ c)'(t)=(X\circ c)(t)=c'(t),\]

pois a curva \(c(t)=(\tau_M\circ c)'(t)\) é uma curva integral do campo vectorial \(X\).

Efectuamos uma mudança de notação \((\tau_M\circ c)\to c\) e temos para a base integral curve of \(X\), \(c(t)\):

\[c''(t)=X\bigl(c'(t)\bigr).\]

Não poderíamos ter estabelecido esta igualdade se não tivéssemos constatado que \(X\) determina a curva \(c'(t)\) — anteriormente \((\tau_M\circ c)'=c\).

Localmente

\[\begin{aligned} (c'')_\varphi:\quad & T^2\varphi\circ c''(t)=T\bigl(T\varphi\circ c'\bigr)(t,1)=(c'_\varphi)'(t)\\[.35em] X(c'(t))\big|_\varphi:\quad & T^2\varphi\circ X\circ T\varphi^{-1}\circ T\varphi\circ c'(t)=X_\varphi\circ c'_\varphi(t) \end{aligned}\]

logo \((c'_\varphi)'=X_\varphi\bigl(c'_\varphi(t)\bigr)\), ou seja

\[\begin{aligned}&\Bigl(u(c(t)),\;e(c'(t)),\;\tfrac{d}{dt}u(c(t)),\;\tfrac{d}{dt}e(c'(t))\Bigr)\\[.3em]={}&\Bigl(u(c(t)),\;e(c'(t)),\;X_1\bigl(u(c(t)),e(c'(t))\bigr),\;X_2\bigl(u(c(t)),e(c'(t))\bigr)\Bigr)\end{aligned}\]

pois \(u(c'(t))=u(c(t))\) por \((\tau_M)_\varphi:(u,e)\mapsto u\) — em ambos os lados do diagrama rômbico.

Do que já foi dito tira-se facilmente:

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\[(*)\quad\begin{cases}\bigl(T\tau_M\circ X\bigr)(u,e)=T\tau_M\bigl(u,e,X_1(u,e),X_2(u,e)\bigr)=\bigl(u,X_1(u,e)\bigr)\\[.5em]\bigl(\tau_{TM}\circ X\bigr)(u,e)=\tau_{TM}\bigl(u,e,X_1(u,e),X_2(u,e)\bigr)=(u,e)\end{cases}\]

logo \(X_1(u,e)=e\) para que se verifique a identidade no diagrama rômbico. Então, finalmente:

\[\begin{cases}\dfrac{d}{dt}\,u(c(t))=X_1\bigl(u(c(t)),e(c'(t))\bigr)=e(c'(t))\\[1em]\dfrac{d}{dt}\,e(c'(t))=X_2\bigl(u(c(t)),e(c'(t))\bigr)\end{cases}\] \[\Longleftrightarrow\qquad\begin{cases}\dfrac{d}{dt}\,u(c(t))=e(c'(t))\\[1em]\dfrac{d^2}{dt^2}\,u(c(t))=X_2\bigl(u(c(t)),e(c'(t))\bigr)\end{cases}\]
\(c'(t)=\bigl(c(t),\,\dot{c}(t)\bigr)\)

E temos uma equação do segundo grau definida intrinsecamente.

(*) Isto significa que, quando se fazem as «passagens» — tangente e projecção — entre \(M\leftrightarrow TM\leftrightarrow TTM\), há um «percurso» único, pela tangente e pela projecção, entre \(c\) e \(c''\), tal que \[\begin{aligned}c''_\varphi=X_\varphi\bigl(c'_\varphi(t)\bigr)\;&\iff\;(c'_\varphi)'=X_\varphi\bigl(c'_\varphi(t)\bigr)'\\[.2em]&\overset{?}{\iff}\;(c_\varphi)''=X_\varphi\bigl(c'_\varphi(t)\bigr)\;\iff\;(c_\varphi)''=X_\varphi\bigl((c_\varphi)'(t)\bigr)\end{aligned}\] pois \(c''_\varphi=T^2\varphi\circ c''(t)=T\bigl(T\varphi\circ c'\bigr)(t,1)\overset{?}{=}T^2(\varphi\circ c)(t,1)=(c_\varphi)''\). Ou seja: \[\begin{aligned}&\Bigl(u(c(t)),\;\tfrac{du}{dt}(c(t)),\;\tfrac{d}{dt}u(c(t)),\;\tfrac{d^2}{dt^2}u(c(t))\Bigr)\\[.3em]={}&\Bigl(u(c(t)),\;e(c(t)),\;X_1\bigl(u(c(t)),e(c(t))\bigr),\;X_2\bigl(u(c(t)),e(c(t))\bigr)\Bigr)\end{aligned}\]
Nota: O importante aqui é a equação do movimento em 2.ª ordem, que obtivemos em coordenadas locais a partir da nossa definição intrínseca.
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Luís Ferreira
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